Până la sfârșitul acestei secțiuni, veți putea:

  • Explicați energia potențială gravitațională în termeni de muncă efectuată împotriva gravitației.
  • Arătați că energia potențială gravitațională a unui obiect cu masa m la înălțimea h pe Pământ este dată de PEg = mgh.
  • Arătați cum cunoașterea energiei potențiale în funcție de poziție poate fi utilizată pentru a simplifica calculele și a explica fenomenele fizice.

Lucrare realizată împotriva gravitației

Urcarea scărilor și ridicarea obiectelor este o lucrare atât în ​​sens științific, cât și în sensul cotidian - este o lucrare făcută împotriva forței gravitaționale. Când există muncă, există o transformare a energiei. Munca depusă împotriva forței gravitaționale intră într-o formă importantă de energie stocată pe care o vom explora în această secțiune.

fizica

Figura 1. (a) Munca efectuată pentru ridicarea greutății este stocată în sistemul masă-Pământ ca energie potențială gravitațională. (b) Pe măsură ce greutatea se deplasează în jos, această energie potențială gravitațională este transferată ceasului cu cuc.

Conversia între energia potențială și energia cinetică

Energia potențială gravitațională poate fi convertită în alte forme de energie, cum ar fi energia cinetică. Dacă eliberăm masa, forța gravitațională va face o cantitate de muncă egală cu mgh pe ea, crescând astfel energia cinetică cu aceeași cantitate (prin teorema energiei de lucru). Vom găsi mai util să luăm în considerare doar conversia PEg în KE fără a lua în considerare în mod explicit pasul intermediar al lucrării. (A se vedea Exemplul 2.) Această comandă rapidă facilitează rezolvarea problemelor folosind energie (dacă este posibil), mai degrabă decât folosind în mod explicit forțe.

Mai precis, definim modificarea energiei potențiale gravitaționale ΔPEg ca fiind ΔPEg = mgh, unde, pentru simplitate, denotăm schimbarea înălțimii cu h mai degrabă decât cu usualh obișnuit. Rețineți că h este pozitiv atunci când înălțimea finală este mai mare decât înălțimea inițială și invers. De exemplu, dacă o masă de 0,500 kg atârnată de un ceas cu cuc este ridicată cu 1,00 m, atunci schimbarea sa în energia potențială gravitațională este

Rețineți că unitățile de energie potențială gravitațională se dovedesc a fi jouli, la fel ca pentru muncă și alte forme de energie. Pe măsură ce ceasul funcționează, masa este redusă. Ne putem gândi că masa renunță treptat la 4,90 J de energie potențială gravitațională, fără a lua în considerare direct forța de greutate care face lucrarea.

Utilizarea energiei potențiale pentru simplificarea calculelor

Figura 2. Schimbarea energiei potențiale gravitaționale (ΔPEg) între punctele A și B este independentă de traiectorie.

Ecuația ΔPEg = mgh se aplică pentru orice cale care are o schimbare a înălțimii de h, nu doar atunci când masa este ridicată drept în sus. (Vezi Figura 2.) Este mult mai ușor să calculezi mgh (o simplă înmulțire) decât să calculezi munca efectuată pe o cale complicată. Ideea energiei potențiale gravitaționale are dublul avantaj că este foarte larg aplicabilă și facilitează calculele.

De acum înainte, vom considera că orice modificare a poziției verticale h a unei mase m este însoțită de o modificare a energiei potențiale gravitaționale mgh și vom evita sarcina echivalentă, dar mai dificilă, de a calcula munca efectuată de sau împotriva forței gravitaționale.

ΔPEg = mgh pentru orice cale dintre cele două puncte. Gravitația face parte dintr-o mică clasă de forțe în care munca depusă sau contra forței depinde doar de punctele de pornire și de sfârșit, nu de calea dintre ele.

Exemplul 1. Forța de a nu mai cădea

O persoană de 60,0 kg sare pe podea de la o înălțime de 3,00 m. Dacă aterizează rigid (cu articulațiile genunchiului comprimându-se cu 0,500 cm), calculați forța asupra articulațiilor genunchiului.

Strategie

Energia acestei persoane este adusă la zero în această situație prin munca făcută asupra sa de podea în timp ce se oprește. PEg inițial se transformă în KE pe măsură ce cade. Munca efectuată de podea reduce această energie cinetică la zero.

Soluţie

Lucrarea efectuată asupra persoanei de podea în timp ce se oprește este dată de W = Fd cos = −Fd, cu un semn minus, deoarece deplasarea în timpul opririi și forța din podea sunt în direcții opuse (cos θ = cos 180º = - 1). Podeaua elimină energia din sistem, deci funcționează negativ.

Energia cinetică pe care o are persoana la atingerea podelei este cantitatea de energie potențială pierdută prin căderea prin înălțimea h: KE = −ΔPEg = −mgh.

Distanța d pe care genunchii persoanei o îndoaie este mult mai mică decât înălțimea h a căderii, astfel încât modificarea suplimentară a energiei potențiale gravitaționale în timpul îndoirii genunchiului este ignorată.

Lucrarea W realizată de podea pe persoană oprește persoana și aduce energia cinetică a persoanei la zero: W = −KE = mgh.

Combinând această ecuație cu expresia pentru W se obține −Fd = mgh.

Amintind că h este negativ deoarece persoana a căzut, forța asupra articulațiilor genunchiului este dată de

Discuţie

O forță atât de mare (de 500 de ori mai mare decât greutatea persoanei) în timpul scurt de impact este suficientă pentru a sparge oasele. O modalitate mult mai bună de a amortiza șocul este prin îndoirea picioarelor sau rotirea pe sol, crescând timpul pe care acționează forța. O mișcare de îndoire de 0,5 m în acest fel produce o forță de 100 de ori mai mică decât în ​​exemplu. Saltul unui cangur arată această metodă în acțiune. Cangurul este singurul animal mare care folosește salturile pentru locomoție, dar șocul în salt este amortizat de îndoirea picioarelor din spate în fiecare salt. (Vezi Figura 3.)

Figura 3. Lucrarea efectuată de sol pe cangur reduce energia cinetică la zero pe măsură ce aterizează. Cu toate acestea, prin aplicarea forței solului pe picioarele din spate pe o distanță mai mare, impactul asupra oaselor este redus. (credit: Chris Samuel, Flickr)

Exemplul 2. Găsirea vitezei unui Roller Coaster de la înălțimea sa

  1. Care este viteza finală a roller-coasterului prezentată în Figura 4 dacă începe din repaus în vârful dealului de 20,0 m și munca efectuată de forțe de frecare este neglijabilă?
  2. Care este viteza sa finală (din nou presupunând o frecare neglijabilă) dacă viteza sa inițială este de 5,00 m/s?

Figura 4. Viteza unui roller coaster crește pe măsură ce gravitația o trage în jos și este cea mai mare în punctul cel mai de jos. Privită în termeni de energie, energia potențială gravitațională a sistemului roller-coaster-Pământ este convertită în energie cinetică. Dacă munca efectuată prin frecare este neglijabilă, toate ΔPEg sunt convertite în KE.

Strategie

Muntele rusesc pierde energie potențială pe măsură ce coboară în jos. Neglijăm frecarea, astfel încât forța rămasă exercitată de pistă este forța normală, care este perpendiculară pe direcția de mișcare și nu funcționează. Lucrul net pe roller coaster este apoi realizat numai prin gravitație. Pierderea energiei potențiale gravitaționale din deplasarea în jos printr-o distanță h este egală cu câștigul din energia cinetică. Acest lucru poate fi scris sub formă de ecuație ca −ΔPEg = ΔKE. Folosind ecuațiile pentru PEg și KE, putem rezolva viteza finală v, care este cantitatea dorită.

Soluție pentru partea 1

Aici energia cinetică inițială este zero, astfel încât [latex] \ Delta \ text = \ fracmv ^ 2 \\ [/ latex]. Ecuația pentru schimbarea energiei potențiale afirmă că ΔPEg = mgh. Deoarece h este negativ în acest caz, îl vom rescrie ca ΔPEg = −mg | h | pentru a arăta clar semnul minus. Astfel, −ΔPEg = ΔKE devine [latex] mg | h | = \ frac ^ 2 \\ [/ latex].

Rezolvând pentru v, constatăm că masa anulează și că [latex] v = \ sqrt \\ [/ latex].

Înlocuirea valorilor cunoscute,

Soluție pentru partea 2

Din nou −ΔPEg = ΔKE. În acest caz, există energie cinetică inițială, deci

Rearanjarea dă [latex] \ fracmv ^ 2 = mg | h | + \ fracmv + 0 ^ 2 \\ [/ latex].

Aceasta înseamnă că energia cinetică finală este suma energiei cinetice inițiale și a energiei potențiale gravitaționale. Masa se anulează din nou și [latex] v = \ sqrt \\ [/ latex].

Această ecuație este foarte asemănătoare cu ecuația cinematică [latex] v = \ sqrt \\ [/ latex], dar este mai generală - ecuația cinematică este valabilă doar pentru accelerație constantă, în timp ce ecuația noastră de mai sus este valabilă pentru orice cale, indiferent de dacă obiectul se mișcă cu o accelerație constantă. Acum, substituirea valorilor cunoscute oferă

Discuție și implicații

În primul rând, rețineți că masa anulează. Acest lucru este destul de consecvent cu observațiile făcute în Falling Objects că toate obiectele cad în același ritm dacă fricțiunea este neglijabilă. În al doilea rând, este luată în considerare doar viteza roller coaster-ului; nu există informații despre direcția sa în niciun moment. Aceasta dezvăluie un alt adevăr general. Atunci când fricțiunea este neglijabilă, viteza unui corp în cădere depinde doar de viteza și înălțimea sa inițială, și nu de masa sau de traseul parcurs. De exemplu, roller coaster-ul va avea aceeași viteză finală, fie că cade 20,0 m drept în jos, fie că ia o cale mai complicată ca cea din figură. În al treilea rând, și poate în mod neașteptat, viteza finală în partea 2 este mai mare decât în ​​partea 1, dar cu mult mai mică de 5,00 m/s. În cele din urmă, rețineți că viteza poate fi găsită la orice înălțime de-a lungul drumului utilizând pur și simplu valoarea corespunzătoare a h la punctul de interes.

Am văzut că lucrarea efectuată de sau împotriva forței gravitaționale depinde doar de punctele de pornire și de sfârșit, și nu de calea dintre ele, permițându-ne să definim conceptul simplificator al energiei potențiale gravitaționale. Putem face același lucru pentru alte câteva forțe și vom vedea că acest lucru duce la o definiție formală a legii conservării energiei.

Realizarea conexiunilor: investigații la domiciliu - convertirea potențialului în energie cinetică

Se poate studia conversia energiei potențiale gravitaționale în energie cinetică în acest experiment. Pe o suprafață netedă și plană, utilizați o riglă de genul care are o canelură care se întinde pe lungimea sa și o carte pentru a face o înclinare (a se vedea Figura 5). Așezați o marmură în poziția de 10 cm pe riglă și lăsați-o să se rostogolească în jos pe riglă. Când atinge suprafața plană, măsoară timpul necesar pentru a rula un metru. Acum așezați marmura în pozițiile de 20 cm și 30 cm și măsurați din nou timpul necesar pentru a rula 1 m pe suprafața plană. Găsiți viteza marmurei pe suprafața plană pentru toate cele trei poziții. Viteza graficului pătrată în raport cu distanța parcursă de marmură. Care este forma fiecărui complot? Dacă forma este o linie dreaptă, graficul arată că energia cinetică a marmurei în partea de jos este proporțională cu energia sa potențială în punctul de eliberare.

Figura 5. O marmură rulează în jos o riglă și se măsoară viteza sa pe suprafața plană.

Rezumatul secțiunii

  • Munca efectuată împotriva gravitației la ridicarea unui obiect devine energie potențială a sistemului obiect-Pământ.
  • Schimbarea energiei potențiale gravitaționale, ΔPEg, este ΔPEg = mgh, h reprezentând creșterea în înălțime și g accelerația datorată gravitației.
  • Energia potențială gravitațională a unui obiect lângă suprafața Pământului se datorează poziției sale în sistemul masă-Pământ. Doar diferențele de energie potențială gravitațională, ΔPEg, au semnificație fizică.
  • Pe măsură ce un obiect coboară fără frecare, energia sa gravitațională potențială se schimbă în energie cinetică corespunzătoare creșterii vitezei, astfel încât ΔKE = −ΔPEg

Întrebări conceptuale

  1. În exemplul 2, am calculat viteza finală a unui roller coaster care a coborât 20 m în înălțime și a avut o viteză inițială de 5 m/s în jos. Să presupunem că roller coaster-ul a avut în schimb o viteză inițială de 5 m/s în sus și că a coborât în ​​sus, s-a oprit și apoi s-a rostogolit înapoi până la un punct final la 20 m sub start. Am descoperi în acest caz că a avut aceeași viteză finală. Explicați în termeni de conservare a energiei.
  2. Munca pe care o faci pe o carte când o ridici pe un raft depinde de calea parcursă? La timpul luat? Pe înălțimea raftului? Pe masa cărții?

Probleme și exerciții

  1. O instalație hidroelectrică (a se vedea Figura 6) transformă energia potențială gravitațională a apei din spatele barajului în energie electrică. (a) Care este energia potențială gravitațională relativă la generatoarele unui lac de volum 50,0 km 3 (masa = 5,00 × 10 13 kg), având în vedere că lacul are o înălțime medie de 40,0 m deasupra generatoarelor? (b) Comparați acest lucru cu energia stocată într-o bombă de fuziune de 9 megatoni.

Figura 6. Instalația hidroelectrică (credit: Denis Belevich, Wikimedia Commons)

Figura 7. O mașină de jucărie se deplasează pe o pistă înclinată. (credit: Leszek Leszczynski, Flickr)

Glosar

energia potențială gravitațională: energia pe care o are un obiect datorită poziției sale într-un câmp gravitațional

Soluții selectate la probleme și exerciții

1. (a) 1,96 × 10 16 J; (b) Raportul dintre energia potențială gravitațională din lac și energia stocată în bombă este de 0,52. Adică, energia stocată în lac este de aproximativ jumătate din cea a unei bombe de fuziune de 9 megatoni.