Citiți mai târziu
Acțiune
Copiat!
Comentarii
Citiți mai târziu
Citiți mai târziu
teoria numerelor
De Erica Klarreich

Citiți mai târziu

quanta

Zim + Teemo pentru revista Quanta

Erica Klarreich

Doi matematicieni au descoperit o proprietate simplă, neobservată anterior a numerelor prime - acele numere care sunt divizibile doar cu 1 și ele însele. Se pare că numerele prime au decis preferințe cu privire la ultimele cifre ale primilor care le urmează imediat.

Printre primele miliarde de numere prime, de exemplu, un sfârșit prim în 9 este cu aproape 65% mai probabil să fie urmat de un sfârșit prim în 1 decât un alt sfârșit prim în 9. Într-o lucrare postată online astăzi, Kannan Soundararajan și Robert Lemke Oliver de la Universitatea Stanford prezintă atât dovezi numerice, cât și teoretice, conform cărora numerele prime resping alte primii potențiali care se termină cu aceeași cifră și au predilecții variate pentru a fi urmate de primii care se termină cu celelalte cifre finale posibile.

„Studiem primele de multă vreme și nimeni nu a văzut acest lucru înainte”, a spus Andrew Granville, teoretician al numerelor de la Universitatea din Montreal și University College London. "E o nebunie."

Descoperirea este exact opusul a ceea ce ar fi prezis majoritatea matematicienilor, a spus Ken Ono, un teoretician al numerelor de la Universitatea Emory din Atlanta. Când a auzit prima dată vestea, a spus: „Eram la etaj. M-am gândit: „Cu siguranță, programul tău nu funcționează”. ”

Această conspirație între numerele prime pare, la prima vedere, să încalce o presupunere de lungă durată în teoria numerelor: că numerele prime se comportă la fel ca numerele aleatorii. Majoritatea matematicienilor ar fi presupus, Granville și Ono au fost de acord, că un prim ar trebui să aibă șanse egale de a fi urmat de un sfârșit prim în 1, 3, 7 sau 9 (cele patru finaluri posibile pentru toate numerele prime, cu excepția 2 și 5).

„Nu pot să cred că nimeni din lume nu ar fi ghicit acest lucru”, a spus Granville. Chiar și după ce a văzut analiza fenomenului lor de către Lemke Oliver și Soundararajan, el a spus: „pare totuși un lucru ciudat”.

Cu toate acestea, lucrarea perechii nu ridică noțiunea că primii se comportă aleatoriu atât de mult încât să indice cât de subtil este amestecul lor particular de ordine aleatorie și ordine aleatorie. „Putem redefini ceea ce înseamnă„ aleatoriu ”în acest context, astfel încât, din nou, [acest fenomen] să pară că ar putea fi aleatoriu?” A spus Soundararajan. - Asta credem că am făcut.

Preferințe Prime

Soundararajan a fost atras să studieze primele consecutive după ce a auzit o conferință la Stanford de către matematicianul Tadashi Tokieda, de la Universitatea din Cambridge, în care a menționat o proprietate contraintuitivă a aruncării de monede: Dacă Alice aruncă o monedă până când vede un cap urmat de un coadă, iar Bob aruncă o monedă până când vede două capete la rând, apoi în medie, Alice va necesita patru aruncări, în timp ce Bob va necesita șase aruncări (încercați asta acasă!), chiar dacă coada capului și capul capului au o șanse egale de a apărea după două aruncări de monede.

Soundararajan s-a întrebat dacă fenomene în mod similar ciudate apar în alte contexte. De când a studiat primele de zeci de ani, s-a îndreptat spre ele - și a găsit ceva chiar mai ciudat decât se târguise. Privind numerele prime scrise la baza 3 - în care aproximativ jumătate din primele se termină în 1 și jumătate se termină în 2 - el a constatat că printre primele mai mici de 1.000, un sfârșit prim în 1 este de peste două ori mai probabil să fie urmat de un prim care se termină în 2 decât cu un alt sfârșit prim în 1. La fel, un sfârșit prim în 2 preferă să fie urmat de o sfârșit prim în 1.

Soundararajan și-a arătat descoperirile cercetătorului postdoctoral Lemke Oliver, care a fost șocat. El a scris imediat un program care a căutat mult mai departe de-a lungul liniei numerice - prin primele 400 de miliarde de prime. Lemke Oliver a descoperit din nou că primii par să evite să fie urmați de un alt prim cu aceeași cifră finală. Primii „chiar urăsc să se repete”, a spus Lemke Oliver.

Lemke Oliver și Soundararajan au descoperit că acest tip de prejudecată din ultimele cifre ale primelor consecutive se menține nu doar în baza 3, ci și în baza 10 și în alte câteva baze; ei presupun că este adevărat în fiecare bază. Tendințele pe care le-au găsit par să se uniformizeze, încetul cu încetul, pe măsură ce mergeți mai departe de-a lungul liniei numerice - dar o fac într-un ritm de melc. „Pentru mine este surprinzător ritmul la care se uniformizează”, a spus James Maynard, teoretician al numerelor de la Universitatea din Oxford. Când Soundararajan i-a spus pentru prima dată lui Maynard ce au descoperit perechea, „l-am crezut doar pe jumătate”, a spus Maynard. „De îndată ce m-am întors la biroul meu, am derulat un experiment numeric pentru a verifica acest lucru chiar eu.”

Prima presupunere a lui Lemke Oliver și Soundararajan despre motivul pentru care apare această prejudecată a fost una simplă: Poate că un sfârșit prim în 3, să zicem, este mai probabil să fie urmat de un sfârșit prim în 7, 9 sau 1 doar pentru că întâlnește numere cu acele terminații înainte ajunge la un alt număr care se termină în 3. De exemplu, 43 este urmat de 47, 49 și 51 înainte de a atinge 53, iar unul dintre aceste numere, 47, este prim.

Însă perechea de matematicieni și-a dat seama curând că această explicație potențială nu ar putea explica magnitudinea prejudecăților pe care le-au găsit. Nici nu ar putea explica de ce, după cum a descoperit perechea, primele care se termină în 3 par să le placă să fie urmate de primele care se termină cu 9 mai mult de 1 sau 7. Pentru a explica aceste și alte preferințe, Lemke Oliver și Soundararajan au trebuit să se adâncească în cei mai adânci matematicieni model au pentru comportament aleatoriu în primii.

Random Primes

Numerele prime, desigur, nu sunt deloc întâmplătoare - sunt complet determinate. Cu toate acestea, în multe privințe, ele se comportă ca o listă de numere aleatorii, guvernate de o singură regulă generală: densitatea aproximativă a primilor lângă orice număr este invers proporțională cu câte cifre are numărul.

În 1936, matematicianul suedez Harald Cramér a explorat această idee folosind un model elementar pentru generarea de numere prime aleatoare: la fiecare număr întreg, întoarceți o monedă ponderată - ponderată de densitatea primă lângă numărul respectiv - pentru a decide dacă să includeți acel număr în lista „primelor” aleatorii. Cramér a arătat că acest model care aruncă monede face o treabă excelentă de a prezice anumite trăsături ale primilor reali, cum ar fi câți de așteptat între două pătrate perfecte consecutive.

În ciuda puterii sale predictive, modelul lui Cramér este o vastă simplificare excesivă. De exemplu, numerele pare au șanse la fel de mari de a fi alese ca numerele impare, în timp ce primele reale nu sunt niciodată pare, în afară de numărul 2. De-a lungul anilor, matematicienii au dezvoltat rafinamente ale modelului lui Cramér care, de exemplu, blochează numerele pare și numere divizibile cu 3, 5 și alte prime mici.

Aceste modele simple de aruncare a monedelor tind să fie reguli foarte utile despre cum se comportă numerele prime. Ei prezic cu precizie, printre altele, că numerelor prime nu ar trebui să le pese care este cifra lor finală - și într-adevăr, primele care se termină cu 1, 3, 7 și 9 apar cu o frecvență aproximativ egală.

Cu toate acestea, o logică similară pare să sugereze că primii nu ar trebui să-i pese pe ce cifră prime după care se termină. Probabil că excesul de încredere al matematicienilor în euristicile simple de aruncare a monedelor i-a făcut pe aceștia să rateze prejudecățile din primele consecutive atât de mult timp, a spus Granville. „Este ușor să dai prea mult de la sine înțeles - să presupui că prima ta presupunere este adevărată”.

Preferințele primilor cu privire la ultimele cifre ale primelor care le urmează pot fi explicate, au găsit Soundararajan și Lemke Oliver, folosind un model mult mai rafinat de aleatorie în primele, ceva numit conjectura k-tuples primă. Afirmată inițial de matematicienii G. H. Hardy și J. E. Littlewood în 1923, conjectura oferă estimări precise cu privire la frecvența cu care va apărea fiecare posibilă constelație a primilor cu un model de spațiere dat. O multitudine de dovezi numerice susțin conjectura, dar până acum o dovadă a eludat matematicienii.

Conjectura primelor k-tuples presupune multe dintre cele mai centrale probleme deschise ale numerelor prime, cum ar fi conjectura primelor gemene, care susține că există infinit de multe perechi de prime - cum ar fi 17 și 19 - care sunt doar două. Majoritatea matematicienilor cred că conjectura primelor gemene nu este atât de mare pentru că continuă să găsească mai multe prime gemene, a spus Maynard, ci pentru că numărul primelor gemene pe care le-au găsit se potrivește atât de bine cu ceea ce prezice conjectura primelor k-tuples.

În mod similar, Soundararajan și Lemke Oliver au descoperit că prejudecățile pe care le-au descoperit în primele consecutive se apropie foarte mult de ceea ce prezice conjectura k-tuples primară. Cu alte cuvinte, cei mai sofisticati matematicieni de presupuneri au despre aleatoriu în primele forțează primii să afișeze părtiniri puternice. „Trebuie să regândesc modul în care îmi predau ora de teoria analitică a numerelor”, a spus Ono.

În această etapă timpurie, spun matematicienii, este greu de știut dacă aceste prejudecăți sunt particularități izolate sau dacă au conexiuni profunde cu alte structuri matematice din primele sau din alte părți. Ono prezice, totuși, că matematicienii vor începe imediat să caute părtiniri similare în contexte conexe, cum ar fi polinoame prime - obiecte fundamentale în teoria numerelor care nu pot fi luate în considerare în polinoame mai simple.

Și descoperirea îi va face pe matematicieni să privească ei înșiși primii cu ochi proaspeți, a spus Granville. "Te-ai putea întreba, ce altceva ne-a mai scăpat de primii?"