Rezultatele învățării

  • Identificați și aplicați o cale de soluție pentru probleme în mai mulți pași

În această secțiune vom reuni instrumentele matematice pe care le-am analizat și le vom folosi pentru a aborda probleme mai complexe. În multe probleme, este tentant să luați informațiile date, să le conectați la orice formulă aveți la îndemână și să sperați că rezultatul este ceea ce ar fi trebuit să găsiți. Șansele sunt, această abordare v-a servit bine la alte clase de matematică.

rezolvarea

Cu toate acestea, această abordare nu funcționează bine cu problemele din viața reală. Citiți mai departe pentru a afla cum să utilizați o abordare generalizată de rezolvare a problemelor pentru a rezolva o mare varietate de probleme cantitative, inclusiv modul în care sunt calculate impozitele.

Rezolvarea și estimarea problemelor

Rezolvarea problemelor este abordată cel mai bine începând cu sfârșitul: identificând exact ceea ce căutați. De acolo, lucrați apoi înapoi, întrebând „ce informații și proceduri voi avea nevoie pentru a găsi acest lucru?” Foarte puține întrebări interesante pot avea răspuns într-un singur pas matematic; de multe ori va trebui să vă legați împreună calea soluției, o serie de pași care vă vor permite să răspundeți la întrebare.

Proces de rezolvare a problemelor

  1. Identificați întrebarea la care încercați să răspundeți.
  2. Lucrați înapoi, identificând informațiile de care veți avea nevoie și relațiile pe care le veți folosi pentru a răspunde la această întrebare.
  3. Continuați să lucrați înapoi, creând o cale de soluție.
  4. Dacă vă lipsesc informațiile necesare, căutați-le sau estimați-le. Dacă aveți informații inutile, ignorați-le.
  5. Rezolvați problema, urmând calea soluției dvs.

În majoritatea problemelor pe care le lucrăm, vom aproxima o soluție, deoarece nu vom avea informații perfecte. Vom începe cu câteva exemple în care vom putea aproxima soluția folosind cunoștințele de bază din viața noastră.

În primul exemplu, va trebui să ne gândim la scale de timp, ni se cere să aflăm de câte ori bate o inimă într-un an, dar de obicei măsurăm ritmul cardiac în bătăi pe minut.

Exemple

De câte ori îți bate inima într-un an?

Soluţie:

Această întrebare solicită rata bătăilor inimii pe an. Deoarece un an este mult timp pentru a măsura bătăile inimii, dacă am ști rata bătăilor inimii pe minut, am putea scala această cantitate până la un an. Deci, informațiile de care avem nevoie pentru a răspunde la această întrebare sunt bătăile inimii pe minut. Acesta este un lucru pe care îl puteți măsura cu ușurință numărându-vă pulsul în timp ce urmăriți un ceas timp de un minut.

Să presupunem că numărați 80 de bătăi într-un minut. Pentru a converti acest lucru în ritmuri pe an:

Tehnica care ne-a ajutat să rezolvăm ultima problemă a fost să obținem numărul de bătăi de inimă într-un minut tradus în numărul de bătăi de inimă dintr-un an. Conversia unităților de la una la alta, cum ar fi minutele în ani, este un instrument obișnuit pentru rezolvarea problemelor.

În exemplul următor, arătăm cum să deducem grosimea unui lucru prea mic pentru a fi măsurat cu instrumentele de zi cu zi. Înainte ca instrumentele de precizie să fie disponibile pe scară largă, oamenii de știință și inginerii au trebuit să devină creativi cu modalități de măsurare a lucrurilor foarte mici sau foarte mari. Imaginați-vă cum astronomii timpurii au dedus distanța față de stele sau circumferința pământului.

Exemplu

Cât de gros este o singură coală de hârtie? Cât cântărește?

Soluţie:
Deși s-ar putea să aveți la îndemână o foaie de hârtie, ar fi dificil să încercați să o măsurați. În schimb, ne-am putea imagina un teanc de hârtie și apoi să redimensionăm grosimea și greutatea pe o singură coală. Dacă ați cumpărat vreodată hârtie pentru o imprimantă sau copiator, probabil că ați cumpărat o reamă, care conține 500 de coli. Am putea estima că o grămadă de hârtie are aproximativ 2 inci grosime și cântărește aproximativ 5 kilograme. Reducerea acestora,

Primele două exemple de întrebări din acest set sunt examinate mai detaliat aici.

Putem deduce o măsurare utilizând scalarea. Dacă 500 de coli de hârtie are o grosime de doi inci, atunci am putea folosi un raționament proporțional pentru a deduce grosimea unei coli de hârtie.

În exemplul următor, folosim raționamente proporționale pentru a determina câte calorii sunt într-o mini brioșă când vi se oferă cantitatea de calorii pentru o brioșă de dimensiuni normale.

Exemplu

O rețetă pentru brioșe de dovlecei afirmă că produce 12 brioșe, cu 250 de calorii pe brioșă. În schimb, te hotărăști să faci mini-briose, iar rețeta dă 20 de briose. Dacă mănânci 4, câte calorii vei consuma?

Soluţie:

Există mai multe căi de soluții posibile pentru a răspunde la această întrebare. Vom explora unul.

Pentru a răspunde la întrebarea câte calorii vor conține 4 mini-brioșe, am dori să știm numărul de calorii din fiecare mini-brioșă. Pentru a găsi caloriile din fiecare mini-brioșă, am putea găsi mai întâi caloriile totale pentru întreaga rețetă, apoi să o împărțim la numărul de mini-brioșe produse. Pentru a găsi caloriile totale pentru rețetă, am putea înmulți caloriile pe brioșă standard cu numărul pe brioșă. Observați că aceasta produce o cale de soluție în mai mulți pași. Este adesea mai ușor să rezolvați o problemă în pași mici, mai degrabă decât să încercați să găsiți o modalitate de a trece direct de la informațiile date la soluție.

Acum putem executa planul nostru:

Vedeți următorul videoclip pentru mai multe despre problema brioșei dovlecei.

Am constatat că raporturile sunt foarte utile atunci când cunoaștem unele informații, dar nu se află în unitățile sau părțile potrivite pentru a răspunde la întrebarea noastră. Efectuarea de comparații matematic implică adesea utilizarea unor rapoarte și proporții. Pentru ultima

Exemplu

Trebuie să înlocuiți scândurile de pe punte. Cam cât vor costa materialele?

Solutie:

Există două abordări pe care le-am putea aborda pentru această problemă: 1) estimarea numărului de scânduri de care vom avea nevoie și găsirea costului pe scândură sau 2) estimarea suprafeței punții și găsirea costului aproximativ pe picior pătrat pentru scândurile de punte . Vom adopta ultima abordare.

Pentru această cale de soluție, vom putea răspunde la întrebarea dacă cunoaștem costul pe picior pătrat pentru scândurile de terase și suprafața pătrată a punții. Pentru a găsi costul pe picior pătrat pentru plăcile de terase, am putea calcula aria unei singure plăci și o putem împărți în costul plăcii respective. Putem calcula imagini pătrate ale punții folosind formule geometrice. Deci, mai întâi avem nevoie de informații: dimensiunile punții și costul și dimensiunile unei singure plăci de punte.

Să presupunem că măsurarea punții este dreptunghiulară, măsurând 16 ft pe 24 ft, pentru o suprafață totală de 384 ft 2 .

De la o vizită la magazinul local de acasă, veți descoperi că o scândură de cedru de 8 picioare pe 4 inci costă aproximativ 7,50 dolari. Suprafața acestei plăci, făcând conversia necesară de la centimetri la picioare, este:

Costul pe picior pătrat este atunci

Acest lucru ne va permite să estimăm costul materialului pentru întreaga punte de 384 ft 2

Desigur, această estimare a costurilor presupune că nu există risipă, ceea ce se întâmplă rar. Este obișnuit să adăugați cel puțin 10% la estimarea costurilor pentru a ține cont de deșeuri.

Acest exemplu este prezentat în următorul videoclip.

Exemplu

Merită să cumpărați un Hyundai Sonata hibrid în loc de Hyundai Sonata obișnuit?

Soluţie:

Pentru a lua această decizie, trebuie mai întâi să decidem care va fi baza noastră pentru comparație. În scopul acestui exemplu, ne vom concentra asupra costurilor de combustibil și de cumpărare, dar impactul asupra mediului și costurile de întreținere sunt alți factori pe care un cumpărător ar putea să-i ia în considerare.

Ar putea fi interesant să comparăm costul benzinei pentru a conduce ambele mașini timp de un an. Pentru a determina acest lucru, va trebui să cunoaștem mile pe galon pe care le obțin ambele mașini, precum și numărul de mile pe care ne așteptăm să le parcurgem într-un an. Din aceste informații, putem găsi numărul de galoane necesare dintr-un an. Folosind prețul gazului pe galon, putem găsi costul de funcționare.

De pe site-ul Hyundai, Sonata 2013 va obține 24 de mile pe galon (mpg) în oraș și 35 mpg pe autostradă. Hibridul va obține 35 mpg în oraș și 40 mpg pe autostradă.

Un șofer mediu conduce aproximativ 12.000 de mile pe an. Să presupunem că vă așteptați să conduceți aproximativ 75% din acest lucru în oraș, deci 9.000 de mile pe an și 3.000 de mile pe autostradă pe an.

Apoi putem găsi numărul de galoane pe care fiecare mașină le-ar necesita pentru anul.

Sonată:

Hibrid:

Dacă gazul din zona dvs. are în medie aproximativ 3,50 USD pe galon, îl putem folosi pentru a găsi costul de funcționare:

Sonată:

Hibrid:

Hibridul va economisi 450,10 USD pe an. Costurile de gaz pentru hibrid sunt cu aproximativ = 0,279 = 27,9% mai mici decât costurile pentru Sonata standard.

Deși atât comparațiile absolute, cât și cele relative sunt utile aici, totuși îngreunează răspunsul la întrebarea inițială, deoarece „merită” înseamnă că există un compromis pentru economiile de gaz. Într-adevăr, Sonata hibridă costă aproximativ 25.850 USD, comparativ cu modelul de bază pentru Sonata obișnuită, la 20.895 USD.

Pentru a răspunde mai bine la întrebarea „merită”, am putea explora cât timp va dura economiile de gaz pentru a compensa costul inițial suplimentar. Hibridul costă 4965 de dolari în plus. Cu economii de gaz de 451,10 USD pe an, vor dura aproximativ 11 ani pentru ca economiile de gaz să compenseze costurile inițiale mai mari.

Putem concluziona că, dacă vă așteptați să dețineți mașina timp de 11 ani, hibridul merită într-adevăr. Dacă intenționați să dețineți mașina mai puțin de 11 ani, s-ar putea să merite în continuare, deoarece valoarea de revânzare a hibridului poate fi mai mare sau din alte motive nemonetare. Acesta este un caz în care matematica vă poate ajuta să vă ghidați decizia, dar nu o poate face pentru voi.

Această întrebare reunește toate abilitățile discutate anterior pe această pagină, așa cum ilustrează demonstrația video.

Incearca-l

Impozite

Guvernele colectează impozite pentru a plăti serviciile pe care le furnizează. În Statele Unite, impozitele federale pe venit ajută la finanțarea armatei, a agenției pentru protecția mediului și a mii de alte programe. Impozitele pe proprietate ajută la finanțarea școlilor. Impozitele pe benzină contribuie la plata îmbunătățirilor rutiere. În timp ce foarte puțini oameni se bucură să plătească impozite, sunt necesari să plătească pentru serviciile de care depindem cu toții.

Impozitele pot fi calculate într-o varietate de moduri, dar sunt de obicei calculate ca procent din vânzare, din venitul propriu sau din activele proprii.

Exemplu: Impozitul pe vânzări

Rata impozitului pe vânzări într-un oraș este de 9,3%. Câtă taxă pe vânzări veți plăti pentru o achiziție de 140 USD?
Soluţie:

Impozitul pe vânzări va fi de 9,3% din 140 USD. Pentru a calcula acest lucru, înmulțim 140 USD cu procentul scris ca zecimal: 140 USD (0,093) = 13,02 USD.

Când impozitele nu sunt date ca procentaj fix, uneori este necesar să se calculeze cota efectivă de impozitare: rata procentuală echivalentă a impozitului plătit din suma în dolari pe care se bazează impozitul.

Exemplu: Impozitul pe proprietate

Jaquim a plătit 3.200 de dolari în impozite pe proprietate pe casa sa în valoare de 215.000 de dolari anul trecut. Care este rata efectivă de impozitare?
Soluţie:

Putem calcula procentul echivalent: 3200/215000 = 0,01488, sau aproximativ 1,49% rata efectivă.

Impozitele sunt adesea denumite progresive, regresive sau uniforme.

  • A taxa pe apartament, sau impozit proporțional, percepe o rată procentuală constantă.
  • A impozit progresiv crește rata procentuală pe măsură ce crește suma de bază.
  • A impozit regresiv scade rata procentuală pe măsură ce crește suma de bază.

Exemplu: Impozitul federal pe venit

Impozitul federal pe veniturile salariilor câștigate din Statele Unite este un exemplu de impozit progresiv. Persoanele cu venituri salariale mai mari plătesc un impozit procentual mai mare asupra veniturilor lor.

Pentru o singură persoană în 2011, venitul brut ajustat (venituri după deduceri) sub 8 500 $ a fost impozitat la 10%. Veniturile peste 8.500 USD, dar sub 34.500 USD, au fost impozitate cu 15%.

Câștigă 10.000 USD

Stephen a câștigat 10.000 de dolari în 2011. El ar plăti 10% din partea venitului său sub 8.500 USD și 15% din veniturile de peste 8.500 USD.

8500 (0,10) = 850 10% din 8500 USD
1500 (0,15) = 225 15% din veniturile rămase de 1500 USD
Impozit total: = 1075 USD

Care a fost rata efectivă de impozitare a lui Stephen?

Soluţie:

Cota efectivă de impozitare plătită este de 1075/10000 = 10,75%

Exemplu: Taxa pe benzină

O taxă pe benzină este o taxă forfetară atunci când este luată în considerare în termeni de consum. O taxă de, să zicem, 0,30 USD pe galon este proporțională cu cantitatea de benzină cumpărată. Cineva care cumpără 10 galoane de gaz la 4 dolari pe galon ar plăti 3 dolari în taxe, adică 3 dolari/40 dolari = 7,5%. Cineva care cumpără 30 de litri de gaz la 4 USD pe galon ar plăti 9 USD în taxe, adică 9 USD/120 USD = 7,5%, aceeași rată efectivă.

Cu toate acestea, în ceea ce privește veniturile, un impozit pe benzină este adesea considerat un impozit regresiv. Este probabil ca cineva care câștigă 30.000 de dolari pe an și cineva care câștigă 60.000 de dolari pe an să conducă cam aceeași sumă. Dacă ambii plătesc 60 de dolari în impozite pe benzină pe parcursul unui an, persoana care câștigă 30.000 de dolari a plătit 0,2% din veniturile lor, în timp ce persoana care câștigă 60.000 de dolari a plătit 0,1% din veniturile lor în impozite pe gaz.

Incearca-l

Un impozit pe vânzări este un impozit procentual fix pe achizițiile unei persoane. Este acesta un impozit plat, progresiv sau regresiv?

Soluţie:

În timp ce impozitul pe vânzări este o rată procentuală fixă, este adesea considerat un impozit regresiv din aceleași motive ca și impozitul pe benzină.

Acest capitol conține material preluat din Math in Society (pe OpenTextBookStore) de David Lippman și este utilizat sub o licență CC Attribution-Share Alike 3.0 United States (CC BY-SA 3.0 US).

Acest capitol conține materiale extrase din Matematica pentru artele liberale (despre învățarea Lumen) de către Lumen Learning și este utilizat sub o licență CC BY: Attribution.