pătrate

Servicii la cerere

Jurnal

  • SciELO Analytics
  • Google Scholar H5M5 ()

Articol

  • text pagină nouă (beta)
  • Engleză (pdf)
  • Articol în format XML
  • Cum să citiți acest articol
  • SciELO Analytics
  • Traducere automată

Indicatori

  • Citat de SciELO
  • Statistici de acces

Link-uri conexe

  • Citat de Google
  • Similare în SciELO
  • Similare în Google

Acțiune

Boletim de Geenésicas Science

Versiune tipărită ISSN 1413-4853 Versiune on-line ISSN 1982-2170

Durere. Cienc. Geod. vol.21 nr.2 Curitiba aprilie/iunie 2015

https://doi.org/10.1590/S1982-21702015000200019

CELE MAI MICI PĂTRATE POTRIVIREA ELIPSOIDULUI FOLOSIND DISTANȚE ORTOGONALE

Potrivire eliptică folosind distanțe ortogonale cu pătrate minime

1 Universitatea OndokuzMayis, Facultatea de Inginerie, Inginerie Geomatică, 55139 Samsun, [email protected]

Cuvinte cheie: Montarea elipsoidului; Montarea ortogonală; Montarea algebrică; Problemă neliniară cel mai mic pătrat.

Palavras-Chave: Adecvarea Elipsei; Adaptare ortogonală; Algebraic Adequação; Problema Quadratos Minime Não-Linear.

Montarea unui elipsoid pe un set arbitrar de puncte este o problemă de importanță fundamentală în multe domenii largi ale științei aplicate, de la astronomie, geodezie, procesare digitală a imaginilor și robotică la metrologie etc. Elipsoidele, deși sunt un pic simple în reprezentarea formelor 3D în general, sunt singurele quadricele delimitate și centrice care pot oferi informații despre centru și orientarea unui obiect. Montarea elipsoidului a fost discutată pe larg și s-au făcut lucrări excelente în literatura de specialitate. Cu toate acestea, majoritatea acestor tehnici de montare sunt montaje algebrice, dar nu montaje ortogonale. De-a lungul anilor Zhang (1997) au fost formulate diverse abordări de potrivire a „celor mai mici pătrate”, dar toate se încadrează în două categorii; (1) metode algebrice, care sunt utilizate pe scară largă datorită naturii lor liniare, simplității și eficienței de calcul și (2) metode geometrice care rezolvă o problemă neliniară Ray și Srivastava (2008).

Nu am putut găsi suficiente studii cu exemple numerice în literatura de specialitate. Turner și colab. (1999) au oferit o aplicație numerică, dar datele aplicației nu sunt date de Turner și colab. (1999). În literatura de specialitate nu s-a găsit nicio altă aplicație de elipsoid de potrivire ortogonală comparabilă. În acest context, scopul studiului este de a da un elipsoid de potrivire ortogonală cu exemple numerice. În acest articol, demonstrăm că abordarea de montare geometrică oferă o alternativă mai robustă decât abordarea de montare algebrică - deși este mai intensă din punct de vedere computerizat.

Hârtia are opt părți. În primul rând, elipsoidul de bază va introduce unele ecuații matematice pentru a explica conceptele. Apoi, revizuiește literatura extinsă relevantă pentru montarea elipsoidelor. Și am discutat în această cercetare care sunt utilizatorii estimatori. Apoi, vine partea care tratează adaptarea algebrică, adaptarea ortogonală și exemplul numeric. Veți găsi aplicația de montare elipsoidă bazată atât pe metodele l1-norm, cât și pe l2-norm. Lucrarea se încheie cu o discuție despre implicațiile teoretice și manageriale și direcțiile pentru cercetări ulterioare.

O elipsoidă este o suprafață cvadrică închisă, care este similară cu o elipsă. Ellipsoidul are trei axe diferite (ax> ay> b) în Figura 1. Literatura matematică folosește adesea „elipsoidul” în locul „elipsoidului triaxial sau elipsoidului general”. Literatura științifică (în special geodezia) folosește adesea „elipsoidul” în locul „elipsoidului biaxial, elipsoidului de rotație sau revoluției elipsoidelor”. Literatura mai veche folosește „sferoid” în locul elipsoidului de rotație. Ecuația standard a unui elipsoid centrat la originea unui sistem de coordonate cartezian și aliniat cu axele este prezentată cu această formulă:

Figura 1: Elipsoid

Deși ecuația elipsoidă este destul de simplă și netedă, calculele sunt destul de dificile pe elipsoid. Motivul principal al acestei dificultăți este lipsa de simetrie. În general, un elipsoid este definit cu 9 parametri. Acești parametri sunt; 3 coordonate ale centrului (Xo, Yo, Zo), 3 semi-axe (ax, ay, b) și 3 unghiuri de rotație ((, (, () care reprezintă rotații în jurul axelor x-, y- și, respectiv, în figura Z 2. Aceste unghiuri controlează orientarea elipsoidului.

Matricea de rotație R se obține din R1, R2, R3 înmulțind ordinea inversă

Figura 2: Elipsoid orientat pe deplasări

2. MONTAREA ELLIPSOIDULUI

Pentru soluționarea problemei de potrivire, relația liniară sau liniarizată, scrisă între punctele date date și parametrii necunoscuți (o ecuație per puncte de date), constă din ecuații, inclusiv parametri necunoscuți.

Aici, A este matricea de proiectare, (x este parametrii necunoscuți, l este vectorul de măsurare sau punctele de date,

Pentru ca această problemă de minimizare să aibă o soluție unică, condițiile necesare sunt să fie n> = 9

iar punctele de date se află în poziție generală (de exemplu, nu toate punctele de date ar trebui să se afle este un plan eliptic). De-a lungul acestei lucrări, presupunem că aceste condiții sunt îndeplinite.

u = 9: numărul parametrului necunoscut

n: numărul de date date (sau măsurători)

f = n-u: grad de libertate

-Dacă f = 0 există o singură soluție (exactă), soluție algebrică

-Dacă f 0 este situația cea mai frecvent întâlnită. Punctele de date (sau măsurătorile) date, care sunt mult mai mari decât numărul necesar, cauzează discrepanțe și, în acest caz, soluția nu este unică. Există un sistem prea determinat. Deoarece n> u, cu alte cuvinte, numărul de ecuații este mai mare decât numărul de necunoscute.

Sistemul de ecuații liniare (4) trebuie rezolvat. Prin urmare, acest sistem trebuie să fie în concordanță cu rangul matricei de proiectare, iar matricea de proiectare extinsă cu termeni constanți trebuie să fie egală, astfel încât rangul (A) = rangul (A: l); întrucât sistemul lui (4) este inconsecvent, deoarece (x parametrii necunoscuți care furnizează (4) nu pot fi calculați. În acest caz, a sunat (A) ≤ u. Matricea extinsă cu l măsurători a sunat (A: l) este în general mai mult decât a sunat (A). Nu există o soluție de ecuații inconsistente și poate fi derivată doar soluția aproximativă a sistemului. Sistemul de ecuații cu soluție aproximativă este calculat prin adăugarea (reziduuri (sau corecții) în partea dreaptă a (4).

În funcție de alegerea (vectorul de reziduuri, se pot obține soluții infinite. Soluția unică poate fi derivată numai conform unui estimator (funcție obiectivă). De exemplu, LS oferă întotdeauna o soluție unică Bektas și Sisman (2010). Aici, îmi vine în minte întrebarea despre ce metodă de estimare să folosim?

3. CARE ESTIMATOR TREBUIE SĂ FIE UTILIZAT?

Se speră că reziduurile vor fi mici. Metoda de estimare mai potrivită este una care creează reziduuri mai mici. Se vede că, de obicei, funcțiile obiective sunt formate pe baza minimizării corecțiilor sau a unei funcții a corecțiilor. Există numeroși estimatori, unii dintre aceștia sunt l1-norm, l2-norm, lp-norm, Fair, Huber, Cauchy, German-McClure, Welsch și Tukey. Două metode de estimare vin în prim plan. Cele mai utilizate estimatoare sunt prezentate mai jos:

(i) [([= = min. (norma l2) Metoda celor mai mici pătrate (LSM)

(ii) [I] (I] = min. (norma l1) Metoda valorilor minime absolute (LAVM).

3.1. Compararea metodelor l1 și l2-Norm

Soluția metodei normei l2 este întotdeauna unică și această soluție este ușor de calculat. Metoda normei l2 este utilizată pe scară largă în estimarea parametrilor. Metoda normei l2 are o superioritate incontestabilă în estimarea parametrilor.

Dezavantajele metodei normei l2 sunt că este afectată de periferie (erori brute) și se distribuie măsurătorilor de sensibilitate. În acest caz, montarea elipsoidă este o aplicație foarte frumoasă.

Cu tehnicile celor mai mici pătrate, chiar și unul sau două valori aberante într-un set mare pot face ravagii! Datele periferice dau un efect atât de puternic în minimizare încât parametrii astfel evaluați de acele date periferice sunt distorsionați. Au fost efectuate numeroase studii, care arată în mod clar că estimatorii celor mai mici pătrate sunt vulnerabili la încălcarea acestor ipoteze. Uneori, chiar și atunci când datele conțin doar o singură măsurare greșită, estimările metodei normelor l2 pot fi complet perturbate Zhang (1997).

Soluția metodei l1-normă nu este întotdeauna unică și pot exista mai multe soluții. De asemenea, soluția metodei l1-normă nu se obține în general direct, dar se fac calcule iterativ. Prin urmare, soluția nu este ușor calculată ca în metoda normei l2. Cu toate acestea, atunci când sunt luate în considerare instrumentele de calcul, capacitatea și viteza computerului, dificultatea calculelor este eliminată. Avantajele metodei normei l1 sunt nesensibilitatea față de măsurători, inclusiv erori grave, iar soluția nu este sau este puțin afectată de aceste măsurători.

Autorul acestui studiu a propus și a folosit metoda normei l2 în soluția de estimare a parametrilor (probleme de optimizare, calcul de ajustare), după ce grupul de măsurare a curățat erorile brute și sistematice folosind metoda normei l1. Pentru informații suplimentare, consultați Bektas și Sisman (2010).

4. METODE DE MONTARE A ELLIPSOIDELOR ALGEBRAICE

Ecuația generală a unui elipsoid este dată ca

(6) conține acești parametri. De fapt, nouă din acești zece parametri sunt independenți. De exemplu, dacă toți coeficienții acestei ecuații se înmulțesc cu (-1/K '), obținem o nouă ecuație care conține nouă parametri necunoscuți, iar termenul său constant va fi egal cu „-1”.

În acest algoritm, trebuie să verificăm dacă o formă potrivită este un elipsoid. În teorie, condițiile care asigură o suprafață pătratică pentru a fi un elipsoid au fost bine cercetate și explicate explicit în manualele de geometrie analitică. Un elipsoid poate fi degenerat în alte tipuri de quadrici eliptice, cum ar fi un paraboloid eliptic. Prin urmare, trebuie adăugată o constrângere adecvată. Li și Griffiths au dat următoarele definiții Li și Griffiths (2004).

Cu toate acestea, 4j-i2> 0 este doar o condiție suficientă pentru a garanta că o ecuație de gradul doi în trei variabile reprezintă un elipsoid, dar nu este necesar. În această lucrare, presupunem că aceste condiții sunt îndeplinite.

Metoda algebrică este o problemă liniară. Rezolvă problema direct și ușor. Elipsoidul care se potrivește cu un set de date dat ((x, y, z) i, i = 1,2. N), se obține prin soluție în sensul LS de în următoarele:

vu = [A B C D E F G H I] T parametri conici necunoscuți

ln = [1 1 1. 1] T unitate vector: vector partea dreaptă

al doilea rând al matricei nx9 (

Se rezolvă cu ușurință în sensul LS ca mai jos

sau este rezolvat cu ușurință de MATLAB ca mai jos

Dacă există diferențe în greutăți sau corelații între punctele date date, se adaugă matricea de greutate P în soluție și apoi

Vectorul rezidual (sau de corecție) este calculat după cum urmează

Optimizarea LS ne oferă || (|| = min.

Toate metodele algebrice au avantaje incontestabile în rezolvarea problemelor liniare LS. Metodele pentru acest lucru sunt bine cunoscute și rapide. Cu toate acestea, nu este clar ce este ceea ce minimalizăm geometric în (7) este adesea denumită „distanța algebrică” care trebuie minimizată Ray și Srivastava (2008). O interpretare geometrică dată de Bookstein (1979) demonstrează în mod clar că metodele algebrice neglijează punctele departe de centru.

5. MONTAREA ELLIPSOIDULUI FOLOSIND DISTANȚE ORTOGONALE

Pentru a depăși problemele cu distanțele algebrice, este firesc să le înlocuim cu distanțele ortogonale care sunt invariante transformărilor în spațiul euclidian și care nu prezintă o înclinație de curbură ridicată. Un elipsoid care se potrivește cel mai bine în sensul LS la punctele date date poate fi găsit prin minimizarea sumei pătratelor distanțelor geometrice de la date la elipsoid. Distanța geometrică este definită ca fiind distanța dintre un punct de date și cel mai apropiat punct al acestuia pe elipsoid.

Determinarea celui mai potrivit elipsoid este o problemă neliniară a celor mai mici pătrate care, în principiu, poate fi rezolvată utilizând algoritmul Levenberg-Marquardt (LM). În general, cel mai mic pătrat neliniar este o problemă complicată. Este foarte dificil să se dezvolte metode care pot găsi minimizatorul global cu certitudine în această situație. Când a fost descoperit un minimizator local, nu știm dacă este un minimizator global sau unul dintre minimizatorul local Zisserman (2013).

Există o varietate de tehnici de optimizare neliniară. Cum ar fi Newton, Gauss-Newton, Gradient Descent, Levenberg-Marquardt etc. Cu toate acestea, aceste tehnici de montare implică o procedură de optimizare foarte neliniară, care se oprește adesea la un nivel local și nu poate garanta o soluție optimă Li și Griffiths (2004).

Departe de minim, în regiunile cu curbură negativă, aproximarea Gauss-Newton nu este foarte bună. În astfel de regiuni, o etapă simplă de coborâre abruptă este probabil cel mai bun plan. Metoda Levenberg-Marquardt este un mecanism pentru a varia între pașii cei mai abrupți de coborâre și pașii Gauss-Newton, în funcție de cât de bună este aproximarea HGN la nivel local.

Metoda Levenberg-Marquardt folosește hessianul modificat

H (x, λ) = HGN + λ.I (I: matrice de identitate)

• Când λ este mic, H se apropie de Gauss-Newton Hessian.

• Când λ este mare, H este aproape de identitate, determinând pașii cu cea mai abruptă coborâre.

Acest algoritm nu necesită căutări explicite pe linie. Mai multe iterații decât Gauss-Newton, dar, nu este necesară o căutare de linie și converg mai frecvent, presupunem că avem un set de parametri necunoscut

v = [A B C D E F G H I] T sunt parametri conici necunoscuți. Ecuația conică generală pentru un elipsoid este dată ca (8)

Vom ajunge la soluție stabilind relații între variațiile coeficienților conici și distanțele ortogonale.

Parametrii inițiali au fost derivați din elipsoidul de fixare algebrică.

: Coordonatele de proiecție (pe elipsoid) ale punctelor de date date Pi