5 și U (ν O, z) este finit în toate punctele. Reamintim că continuitatea lui ν O înseamnă că ν O () = pentru toate x (adică ν O nu are mase punctuale). Dovadă. Fie O = j = 1 (aj, bj) unde (aj, bj) s sunt disjuncte și setați K n = nj = 1 [aj + 1/n, bj 1/n] (săriți al j-lea termen dacă aj + 1/nbj 1/n). Acesta este un set compact de capacitate logaritmică astfel încât [x 2δ, x + 2δ] O. Apoi [x 2δ, x + 2δ] K n pentru toate nn și pe setul [x 2δ, x + 2δ] (de fapt pe întregul set K n) secvența nn este o secvență descrescătoare de măsuri ([1, Teorema IV.1.6 (e)]). Acestea implică faptul că ν O este absolut continuu pe (x 2δ, x + 2δ) și pe (x δ, x + δ) avem wnw O (x), unde w O este densitatea lui ν O. Prin urmare, de către monoton teorema convergenței, avem ca n, n N, x + δ x δ log xt dν n (t) x + δ x δ log xt dν O (t). Pe de altă parte, conform a ceea ce tocmai am spus ν n R \ [x δ, x + δ] ν OR \ [x δ, x + δ] în topologia slabă ca n, n N, deci R \ [x δ, x + δ] log xt dν n (t) R \ [x δ, x + δ] Astfel, am demonstrat că de-a lungul secvenței n N log xt dν n (t) log xt dν O (t) și apoi (3) urmează din (4). Deoarece, conform teoremei lui Frostman, log z t dν n (t) log cap (k n) log x t dν O (t). pentru toate z, se poate deduce cu ușurință că U (ν O, z) este finit peste tot. În cele din urmă, finitudinea lui U (ν O, z) la fiecare z implică faptul că ν O este o măsură continuă, adică nu are atomi: ν O () = pentru toate x R. 5

salem

14 Vilmos Totik Bolyai Institute MTA-SZTE Analiză și Cercetare Stochastics Group Universitatea din Szeged Szeged Aradi v. tere 1, 672, Ungaria și Departamentul de Matematică și Statistică Universitatea din Florida de Sud 422 E. Fowler Ave, CMC342 Tampa, FL, SUA 14