orice sistem

Kurt Gödel a urmat școala la Brünn, finalizând studiile școlare în 1923. Fratele său Rudolf Gödel a spus:-

Chiar și în liceu, fratele meu era ceva mai unilateral decât mine și spre uimirea profesorilor și a colegilor săi stăpânise matematica universitară până la ultimii ani de gimnaziu. … Matematica și limbile s-au clasat mult peste literatură și istorie. La acea vreme, se zvonea că, în toată perioada petrecută la liceu, nu numai că munca sa în limba latină a primit întotdeauna notele de top, ci că nu a comis nici o eroare gramaticală.

Kurt a intrat la Universitatea din Viena în 1923. A fost predat de Furtwängler, Hahn, Wirtinger, Menger, Helly și alții. Ca student, a participat la un seminar condus de Schlick, care a studiat cartea lui Russell Introducere în filosofia matematică. Olga Tausky-Todd, o colegă de studență a lui Gödel, a scris:-

A devenit evident încet că va rămâne cu logica, că va fi studentul lui Hahn și nu al lui Schlick, că era incredibil de talentat. Ajutorul său era foarte solicitat.

Și-a finalizat teza de doctorat sub supravegherea lui Hahn în 1929 și a devenit membru al facultății Universității din Viena în 1930, unde a aparținut școlii de pozitivism logic până în 1938.

El este cunoscut mai ales pentru dovada sa a teoremelor incompletitudinii lui Gödel. În 1931 a publicat aceste rezultate în Uber elemente formal nespecificate din Principia Mathematica und verwandter Systeme. El a dovedit rezultate fundamentale despre sistemele axiomatice care arată în orice sistem matematic axiomatic că există propoziții care nu pot fi dovedite sau infirmate în cadrul axiomelor sistemului. În special, consistența axiomelor nu poate fi dovedită.

Aceasta a încheiat o sută de ani de încercări de a stabili axiome pentru a pune întreaga matematică pe o bază axiomatică. O încercare majoră a fost făcută de Bertrand Russell cu Principia Mathematica (1910-13). Un altul a fost formalismul lui Hilbert, care a fost lovit puternic de rezultatele lui Gödel. Teorema nu a distrus ideea fundamentală a formalismului, dar a demonstrat că orice sistem ar trebui să fie mai cuprinzător decât cel prevăzut de Hilbert’s.

Rezultatele lui Gödel au fost un reper în matematica secolului XX, arătând că matematica nu este un obiect terminat, așa cum se credea. De asemenea, implică faptul că un computer nu poate fi niciodată programat pentru a răspunde la toate întrebările matematice.

Gödel l-a cunoscut pe Zermelo în Bad Elster în 1931. Olga Taussky-Todd, care se afla la aceeași întâlnire, a scris:-

Problema cu Zermelo a fost că a simțit că a atins deja el însuși cel mai admirat rezultat al lui Gödel. Scholz părea să creadă că acesta este de fapt cazul, dar nu îl anunțase și poate că nu ar fi făcut-o niciodată. Pașnică Întâlnirea pașnică dintre Zermelo și Gödel la Bad Elster nu a fost începutul unei prietenii științifice între doi logicieni.

În 1933, Hitler a ajuns la putere. La început, acest lucru nu a avut niciun efect asupra vieții lui Gödel din Viena. Avea puțin interes pentru politică. Cu toate acestea, după ce Schlick, al cărui seminar a trezit interesul lui Gödel pentru logică, a fost ucis de un student național-socialist, Gödel a fost mult afectat și a avut prima sa defecțiune. Fratele său Rudolf a scris

Acest eveniment a fost cu siguranță motivul pentru care fratele meu a trecut printr-o criză nervoasă severă de ceva timp, ceea ce a fost, desigur, o mare îngrijorare, mai ales pentru mama mea. La scurt timp după recuperare, el a primit primul apel la o catedră invitată din SUA.

În 1934 Gödel a susținut la Princeton o serie de prelegeri intitulate Despre propunerile indecidabile ale sistemelor matematice formale. La propunerea lui Veblen, Kleene, care tocmai își încheiase doctoratul. la Princeton, a luat notițe despre aceste prelegeri care au fost publicate ulterior.

S-a întors la Viena, s-a căsătorit cu Adele Porkert în 1938, dar când a început războiul, a avut norocul să se poată întoarce în SUA, deși a trebuit să călătorească prin Rusia și Japonia pentru a face acest lucru.

În 1940, Gödel a emigrat în Statele Unite și a ocupat o catedră la Institutul de Studii Avansate din Princeton, din 1953 până la moartea sa. A primit Medalia Națională a Științei în 1974.

Lucrarea sa Consistența axiomei alegerii și a ipotezei generalizate a continuumului cu axiomele teoriei mulțimilor (1940) este un clasic al matematicii moderne.

Fratele său Rudolf, el însuși medic, a scris:-

Fratele meu avea o părere foarte individuală și fixă ​​despre toate și cu greu putea fi convins altfel. Din păcate, el a crezut toată viața că a avut întotdeauna dreptate nu doar la matematică, ci și la medicină, așa că a fost un pacient foarte dificil pentru medici. După sângerări severe de la un ulcer duodenal ... pentru tot restul vieții sale, el a ținut o dietă extrem de strictă (prea strictă), care l-a determinat să slăbească încet.

Spre sfârșitul vieții sale, Gödel a devenit convins că este otrăvit și, refuzând să mănânce pentru a nu fi otrăvit, s-a înfometat până la moarte.

În 1931, matematicianul născut în Cehia, Kurt Gödel, a demonstrat că, în cadrul oricărei ramuri date a matematicii, ar exista întotdeauna unele propoziții care nu ar putea fi dovedite nici adevărate, nici false folosind regulile și axiomele ... ale acelei ramuri matematice. S-ar putea să fiți capabil să demonstrați fiecare afirmație imaginabilă despre numere dintr-un sistem, ieșind în afara sistemului pentru a veni cu reguli noi și axiome, dar procedând astfel veți crea doar un sistem mai mare cu propriile sale afirmații de nedovedit. Implicația este că toate sistemele logice de orice complexitate sunt, prin definiție, incomplete; fiecare dintre ele conține, la un moment dat, mai multe afirmații adevărate decât poate demonstra conform propriului set de reguli definitorii.

Teorema lui Gödel a fost folosită pentru a argumenta că un computer nu poate fi niciodată la fel de inteligent ca o ființă umană, deoarece amploarea cunoștințelor sale este limitată de un set fix de axiome, în timp ce oamenii pot descoperi adevăruri neașteptate ... joacă un rol în teoriile lingvistice moderne, care subliniază puterea limbajului de a veni cu noi modalități de exprimare a ideilor. Și s-a presupus că nu te vei înțelege niciodată pe deplin, deoarece mintea ta, ca orice alt sistem închis, poate fi sigură de ceea ce știe despre sine, bazându-se pe ceea ce știe despre sine.

Gödel a arătat că, în cadrul unui sistem rigid logic, precum Russell și Whitehead, s-au dezvoltat pentru aritmetică, pot fi formulate propoziții care sunt indecidabile sau nedemonstrabile în cadrul axiomelor sistemului. Adică, în cadrul sistemului, există anumite afirmații clare care nu pot fi nici dovedite, nici respinse. Prin urmare, nu putem fi siguri, folosind metodele obișnuite, că axiomele aritmeticii nu vor duce la contradicții ... Se pare că previne speranța certitudinii matematice prin utilizarea metodelor evidente. Poate condamnat, de asemenea, este, ca rezultat, idealul științei - pentru a concepe un set de axiome din care pot fi deduse toate fenomenele lumii externe.

El s-a dovedit imposibil să se stabilească consistența logică internă a unei clase foarte mari de sisteme deductive - aritmetica elementară, de exemplu - dacă nu se adoptă principii ale raționamentului atât de complexe încât consistența lor internă este la fel de deschisă la îndoială ca cea a sistemelor în sine ... concluzia principală este ... Gödel a arătat că Principia, sau orice alt sistem în cadrul căruia aritmetica poate fi dezvoltată, este în esență incompletă. Cu alte cuvinte, având în vedere orice set consistent de axiome aritmetice, există afirmații matematice adevărate care nu pot fi derivate din set ... Chiar dacă axiomele aritmeticii sunt mărite de un număr nedefinit de alte adevărate, vor exista întotdeauna adevăruri matematice suplimentare care nu sunt derivabile formal din setul augmentat.

Dovada teoremei incompletitudinii lui Gödel este atât de simplă și atât de ascunsă, încât este aproape jenantă să relaționăm. Procedura sa de bază este următoarea:

Cu marele său geniu matematic și logic, Gödel a reușit să găsească o modalitate (pentru orice P (UTM) dat) de a scrie de fapt o ecuație polinomială complicată care are o soluție dacă și numai dacă G este adevărat. Deci, G nu este deloc o propoziție vagă sau nematematică. G este o problemă matematică specifică la care știm răspunsul, chiar dacă UTM nu! Așadar, UTM nu înglobează și nu poate întruchipa o cea mai bună și finală teorie a matematicii.

Deși această teoremă poate fi afirmată și implementată într-un mod matematic riguros, ceea ce pare să spună este că gândirea rațională nu poate pătrunde niciodată până la adevărul final final ... Dar, în mod paradoxal, a înțelege dovada lui Gödel este de a găsi un fel de eliberare. Pentru mulți studenți la logică, descoperirea finală către înțelegerea deplină a teoremei incompletitudinii este practic o experiență de conversie. Acesta este parțial un produs secundar al puternicii mistici pe care le poartă numele lui Gödel. Dar, mai profund, a înțelege natura esențial labirintică a castelului înseamnă, cumva, a fi liber de el.

Toate formulările axiomatice consistente ale teoriei numerelor includ propoziții indecidabile ...

Gödel a arătat că probabilitatea este o noțiune mai slabă decât adevărul, indiferent de ce sistem de axiome este implicat ...

Cum îți poți da seama dacă ești sănătos? … Odată ce începeți să vă puneți la îndoială propria sănătate, rămâneți prins într-un vortex din ce în ce mai strâns de profeții care se împlinesc de sine, deși procesul nu este nicidecum inevitabil. Toată lumea știe că nebunii interpretează lumea prin propria lor logică deosebit de consecventă; cum poți să-ți dai seama dacă propria ta logică este „ciudată” sau nu, având în vedere că ai doar propria ta logică să te judeci? Nu văd niciun răspuns. Îmi amintesc de a doua teoremă a lui Gödel, care implică faptul că singurele versiuni ale teoriei numerelor formale care își afirmă propria consistență sunt inconsistente.

Celălalt analog metaforic al teoremei lui Gödel, care mi se pare provocator, sugerează că, în cele din urmă, nu ne putem înțelege propria minte/creier ... Așa cum nu ne putem vedea fețele cu ochii noștri, nu este de neconceput să ne așteptăm că nu putem oglindi structurile noastre mentale complete. în simbolurile care le realizează? Toate teoremele limitative ale matematicii și teoria calculației sugerează că odată ce capacitatea de a vă reprezenta propria structură a atins un anumit punct critic, acesta este sărutul morții: garantează că nu vă puteți reprezenta niciodată în totalitate.